پایه های متعامد فضاهای تانسوری متقارن شده

علاقمندی به مطالعه فضاهای تانسوری متقارن شده، به ساختارهای فضاهای گراسمان برمی گردد. توسیع نظریه گراسمان به فرمهای دیفرانسیل خارجی که توسط کاردان انجام شد و کاربردهای وسیع این فرمها در همه جای هندسه دیفرانسیل، مظریه های فیزیکی و معادلات دیفرانسیل تصادفی، انگیزه بیشتری برای مطالعه آنها برانگیخت . کارهای کلاسیک دیگر کلاس تقارن تانسورها در زیرفضاهای همگن حلقه های چند جمله ای ظاهر شده است . در واقع فضاهای گراسمان و زیرفضاهای همگن حلقه های چند جمله ای، حالات خاصی از کلاس تقارن تانسورها هستند که در اواخر قرن نوزدهم شناخته شده اند و لذا مطالعه روی این کلاس ها قدمتی حدود یک قرن دارد. در سالهای اخیر مطالعه روی این کلاس ها یکی از پرجاذبه ترین موضوع های جبر چند خطی بوده است و ریاضیدانان زیادی روی رده وسیعی از مسائلی که با این کلاس ها ارتباط دارند، کار کرده اند. در سی سال اخیر، مطالعه این کلاس ها روی زوج (g,x) که در آن g یک گروه جایگشتی روی n حرف و x یک سرشت تحویل ناپذیر آن می باشد، متمرکز بوده است . با داشتن فضای برداری v، کلاس تقارن تانسوری وابسته به گروه جایگشتی g و سرشت تحلیل ناپذیر x را با نماد vnx(g) نسبت داده اند و یا این کلاس ها تجزیه ای برای حاصلضرب تانسوری توان nام، v یعنی nv بدست آورده اند. (این کار توسط پبرس [pi] و فریز [f] بطور مستقل در اوایل دهه 70 میلادی انجام شده است . مسائل عمده و اساسی که مورد بحث بوده و هستند، یافتن فرمول صریح بعد کلاس تقارن تانسوری vnx(g) برای گروههای جایگشتی دلخواه g روی n حرف به همراه سرشتهای تحویل ناپذیر آن می باشد. اولا برای کدام gها و کدام xها، vnx(g) نابدیهی است و ثانیا در صورت نابدیهی بودن این فضاها بحث وجود یا عدم وجود -o پایه، برای این فضاهای خاص مطرح است . مسائل تحقیقاتی حل نشده ای هستند که عمری حدود چهل سال دارند. کارهای بسیار قوی روی دو جنبه مسئله از دهه 70 میلادی شروع شده است . بعنوان مثال، مریس [m3, 4, 5, 6]، الویرا و سیلوا [od1,2]، مارکوس و شولت [mc1, 2, 3, 4]، هولمز و تم [h,ht]، شهابی و شهریاری [ss]، درفشه و پورنکی [dp1, 2, 3, 4] روی این مسائل کار کرده اند. ما در این رساله علاوه بر اینکه مسائل را بصورت مجرد برای حاصلضرب مستقیم و مرکزی گروههای جایگشتی بررسی می کنیم، آنرا بصورت دیگری روی توابع کلاسی تعمیم خواهیم داد و مسائل فوق را نیز برای رده ای از گروههای جایگشتی معروف به u6n و v8n بررسی خواهیم نمود. لذا این رساله را در پنج فصل تقسیم کرده ایم، در فصل نخست به یادآوری مطالبی سنتی درمورد گروههای جایگشتی و حاصلضربهای مستقیم و مرکزی گروهها و تکنیکهایی از نظریه سرشت و نمایش گروههای متناهی و مباحثی در جبر چند خطی اشاره کرده ایم، که در واقع چارچوب اصلی رساله را تشکیل می دهند. در فصل دوم کلاس تقارن تانسوری را معرفی نموده ایم تا بتوانیم کارهای تحقیقاتی را بیان نماییم. در فصل سوم ابعاد فضاهای تانسوری متقارن محاسبه می شوند و در پی آن در فصل چهارم پایه های متعامد این فضاها بررسی می شود. سرانجام، در فصل پنجم به بررسی پایه های متعامد در کلاس تقارن تانسوری وابسته به u6n و v8n پرداخته ایم. از این رساله در حال حاضر سه مقاله استخراج شده است که در مجلات بین المللی پذیرش چاپ یا تحت بررسی قرار دارند.